Autour de 241 - Corrigé

Énoncé

1. Vérifier que \(241\) est un nombre premier.

2. Déterminer tous les couples d'entiers naturels \((x;y)\) tels que \(x^2-y^2=241\) .

Solution

1. On a \(\sqrt{241} \approx 15,5\) et \(241\) n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à \(15\) , donc \(241\) est premier.

2. Pour tout \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) ,  \(\begin{align*}x^2-y^2=241& \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x-y)(x+y)=241.\end{align*}\)  
Ainsi, \((x-y)\) et \((x+y)\) sont des diviseurs strictement positifs de \(241\) , avec \(x-y \leqslant x+y\) car \(y\) est strictement positif.
(Il est clair que  \((x+y)\)  est strictement positif, et comme  \((x-y)(x+y)=241\)  est strictement positif,  \((x-y)\)  est du même signe que  \((x+y)\) .)
Comme \(241\) est un nombre premier, il n'a que deux diviseurs strictement positifs ( \(1\) et \(241\) ) et on a donc 
\(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}x-y=1 \\ x+y=241\end{array} \right.& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{ll}x-y=1 \\ 2x=242 & L_2 \leftarrow L_2+L_1\end{array} \right.\end{align*}\)  
donc \(x=\dfrac{242}{2}=121\) et \(y=x-1=121-1=120\) , c'est-à-dire \((x;y)=(121;120)\) .